Blow your mind… 20 παράδοξα που ανατρέπουν το “αποδεκτό”

Ένα παράδοξο είναι μια δήλωση ή πρόβλημα που φαίνεται να παράγει δύο εντελώς αντιφατικά (αλλά πιθανά) αποτελέσματα, ή παρέχει απόδειξη για κάτι που αντιβαίνει σε αυτό που αναμένουμε διαισθητικά. Τα παράδοξα ήταν κεντρικό θέμα της φιλοσοφικής σκέψης για αιώνες και είναι πάντα έτοιμα να «αμφισβητήσουν» την ερμηνεία μας για απλές καταστάσεις, «γυρίζοντας» ό,τι πιστεύουμε ότι είναι αληθινό ανάποδα και παρουσιάζοντας μας καταστάσεις που είναι εξίσου αποδεκτές με αποδεδειγμένα αδύνατες. Μπερδευτήκατε; Θα έπρεπε.

Επιμέλεια

Αν είστε σε διάθεση να…ανασηκώσετε το φρύδι σας σε φαινομενικά αμετάκλητες αντιφάσεις, έχουμε μια λίστα για εσάς.

1. Το παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας

Το παράδοξο του Αχιλλέα και της Χελώνας είναι μία από τις πολλές θεωρητικές συζητήσεις για την κίνηση που πρότεινε ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελεάτης τον 5ο αιώνα π.Χ. Αρχίζει με τον μεγάλο ήρωα Αχιλλέα να προ(σ)καλεί μια χελώνα σε αγώνα δρόμου. Για να είναι δίκαιο το παιχνίδι, συμφωνεί να δώσει στην χελώνα μια διαφορά 500 μέτρων. Όταν ξεκινά ο αγώνας, ο Αχιλλέας τρέχει πολύ πιο γρήγορα από τη χελώνα, και όταν φτάνει στα 500 μέτρα, η χελώνα έχει περπατήσει μόνο 50 μέτρα παραπάνω. Όταν φτάσει τα 550 μέτρα, η χελώνα έχει περπατήσει ακόμα 5 μέτρα. Και όταν φτάσει τα 555 μέτρα, η χελώνα έχει περπατήσει άλλο 0,5 μέτρα, στη συνέχεια 0,25 μέτρα, 0,125 μέτρα κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται ξανά και ξανά σε άπειρη σειρά μικρότερων και μικρότερων αποστάσεων, με την χελώνα να προχωρά πάντα μπροστά, ενώ ο Αχιλλέας πάντα προσπαθεί να την φτάσει.
Λογικά, αυτό φαίνεται να αποδεικνύει ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να προσπεράσει τη χελώνα—όποτε φτάνει κάπου που έχει βρεθεί η χελώνα, πάντα θα έχει κάποιον επιπλέον χώρο να διανύσει, όσο μικρός κι αν είναι. Ωστόσο, ξέρουμε διαισθητικά ότι μπορεί να την προσπεράσει. Το κόλπο εδώ είναι να μην σκεφτόμαστε την παραδοξότητα του Αχιλλέα του Ζήνωνα σε όρους αποστάσεων και αγώνων, αλλά ως παράδειγμα του πώς οποιαδήποτε πεπερασμένη τιμή μπορεί πάντα να διαιρεθεί απείρως, ανεξάρτητα από το πόσο μικρές γίνονται οι διαιρέσεις

2. Το παράδοξο του Παππού

Όλοι γνωρίζουμε ότι αν ταξιδέψετε πίσω στο χρόνο, δεν πρέπει με τίποτα να σκοτώσετε τον παππού σας, γιατί αλλιώς θα δημιουργήσετε κάποιο είδος χρονοπαράδοξου ή ρήγματος στο συνεχές του χώρου-χρόνου. Αυτό το πρόβλημα, γνωστό ως το Παράδοξο του Παππού, θέτει το κεντρικό πρόβλημα του ταξιδιού στο χρόνο: Αν επιστρέψετε και εμποδίσετε τον εαυτό σας να γεννηθεί, πώς θα μπορούσατε να έχετε ταξιδέψει πίσω στο χρόνο εξ αρχής;

3. Το παράδοξο του Βαμπίρ

Το παράδοξο του Βαμπίρ είναι ένα άλλο παράδοξο του ταξιδιού στο χρόνο που θέτει το ερώτημα πώς κάτι που παίρνεται από το μέλλον και τοποθετείται στο παρελθόν θα μπορούσε να δημιουργηθεί εξ αρχής. Είναι μια κοινή τροπή που χρησιμοποιείται από συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας και έχει εμπνεύσει πλοκές σε ό,τι αφορά το Doctor Who μέχρι τις ταινίες Bill and Ted.

4. Το παράδοξο του Πλοίου του Θησέα

Ένα από τα πιο διάσημα παράδοξα, εν μέρει λόγω της σειράς WandaVision της Marvel, είναι το Παράδοξο του Πλοίου του Θησέα. Ακολουθεί μια σύντομη περίληψη.

Ο Θησέας ήταν ένας μυθικός βασιλιάς και ήρωας της Αθήνας (ήταν εκείνος που σκότωσε τον Μινώταυρο, μεταξύ άλλων κατορθωμάτων). Πήγαινε συχνά σε ταξίδια με πλοίο, και το περίφημο πλοίο του τελικά εκτέθηκε σε αθηναϊκό λιμάνι ως ένα είδος μνημείου ή μουσειακού αντικειμένου. Καθώς περνούσε ο χρόνος, το ξύλο του πλοίου άρχισε να σαπίζει σε διάφορα σημεία. Τα σαπισμένα κομμάτια αντικαθίσταντο, ένα-ένα. Καθώς περνούσε ο καιρός, όλο και περισσότερα μέρη του πλοίου χρειάζονταν αντικατάσταση. Η διαδικασία αντικατάστασης των σαπισμένων σανίδων με νέες συνεχιζόταν, τουλάχιστον στις σύγχρονες εκδοχές του παραδόξου, μέχρι που όλο το πλοίο ήταν φτιαγμένο από καινούργια ξύλα.

Αυτό το πείραμα σκέψης θέτει το ερώτημα: Είναι το πλήρως ανακαινισμένο πλοίο ακόμη το πλοίο του Θησέα;

Ας το πάρουμε ένα βήμα παρακάτω: Τι θα γινόταν αν κάποιος άλλος έπαιρνε όλα τα απορρίμματα, τα αυθεντικά ξύλα, και τα συναρμολογούσε ξανά για να φτιάξει ένα πλοίο; Θα ήταν αυτό το πλοίο του Θησέα; Και αν ναι, τι κάνουμε με το ανακαινισμένο πλοίο που βρίσκεται στο λιμάνι; Ποιο είναι το αυθεντικό πλοίο;

Αυτό το παράδοξο αφορά τη φύση της ταυτότητας με την πάροδο του χρόνου και έχει αποτελέσει αντικείμενο φιλοσοφικών συζητήσεων για χιλιάδες χρόνια. Εμφανίζεται και σε άλλες μορφές, όπως η Ερώτηση για την Ξυλεία του Παππού και η Σκούπα του Τρίγκερ, όπου το ερώτημα αφορά αν ένα αντικείμενο παραμένει το ίδιο μετά την πλήρη αντικατάσταση όλων των μερών του.

Η ιδέα αυτή επεκτείνεται και σε ερωτήματα προσωπικής ταυτότητας: Αν ένα άτομο αλλάξει δραστικά με την πάροδο του χρόνου, τόσο ώστε αυτό που είναι πια δεν ταιριάζει με καμία πλευρά αυτού που ήταν κάποτε, παραμένει το ίδιο άτομο;

5. και 6. Το παράδοξο του Σωρηδόν και το παράδοξο του Κέρατος

Άλλο ένα παράδοξο που αφορά την αόριστη φύση της ταυτότητας είναι το παράδοξο του Σωρηδόν. Η αρχική ιδέα είναι απλή: Συνήθως αφορά μια σωρό άμμου. Αν αφαιρέσετε έναν κόκκο άμμου από τη σωρό, είναι ακόμα, σχεδόν σίγουρα, μια σωρός άμμου. Αν αφαιρέσετε έναν ακόμα κόκκο, είναι ακόμα μια σωρός. Αν συνεχίσουμε αυτό το παιχνίδι για αρκετό καιρό, τελικά θα φτάσουμε σε έναν μόνο κόκκο άμμου, ο οποίος, σίγουρα, δεν είναι πια μια σωρός. Πότε, λοιπόν, η άμμος σταμάτησε να είναι σωρός και άρχισε να είναι κάτι άλλο;

Το παράδοξο του Σωρηδόν αφορά την αοριστία της γλώσσας. Επειδή η λέξη “σωρός” δεν έχει ανατεθεί σε μια συγκεκριμένη ποσότητα, η φύση της σωρού είναι υποκειμενική. Οδηγεί επίσης σε λανθασμένα συμπεράσματα. Για παράδειγμα, αν προσπαθήσουμε το παράδοξο αντίστροφα, αρχίζουμε με έναν μόνο κόκκο άμμου, ο οποίος δεν είναι σωρός. Στη συνέχεια, κάποιος θα μπορούσε να υποστηρίξει ότι ένας κόκκος άμμου και άλλος ένας δεν είναι επίσης σωρός. Και αν προσθέσουμε κι άλλο, τότε ο ισχυρισμός “ένα εκατομμύριο κόκκοι άμμου δεν είναι σωρός” δεν έχει καμία λογική.

Το όνομα του παραδόξου, Σωρηδόν, προέρχεται από την ελληνική λέξη “σώρος”, που σημαίνει “σωρός” ή “σωρός”. Συνήθως αποδίδεται στον Ευβουλίδη τον Μιλήσιο, έναν λογιστή του 4ου αιώνα π.Χ., που ήταν σχεδόν μια μηχανή παραγωγής παραδόξων. Τα περισσότερα από τα παράδοξά του αφορούν την συντακτική πλάνη, όπως το παράδοξο του Κέρατος. Αν αποδεχθούμε την ιδέα ότι “Ό,τι δεν έχεις χάσει, το έχεις”, τότε θεωρήστε το γεγονός ότι δεν έχετε χάσει τα κέρατά σας. Άρα, πρέπει να έχετε κέρατα. Και ναι, τα περισσότερα από τα παράδοξά του είναι εξίσου εκνευριστικά.

7. Το παράδοξο του Ψεύτη

Ένα από τα πιο διάσημα παράδοξα του Ευβουλίδη του Μιλήσιου, Το παράδοξο του Ψεύτη, εξακολουθεί να συζητιέται και σήμερα. Έχει μια πολύ απλή αρχή αλλά με εξαιρετικά μπερδεμένο αποτέλεσμα. Να η δήλωση: “Αυτή η πρόταση είναι ψευδής.”

Σκεφτείτε το για μια στιγμή. Αν η δήλωση είναι αληθής, τότε σημαίνει ότι η πρόταση είναι πράγματι ψευδής, όπως δηλώνει. Αλλά αυτό σημαίνει ότι η πρόταση είναι ψευδής. Και αν η πρόταση “Αυτή η πρόταση είναι ψευδής” είναι ψευδής, τότε σημαίνει ότι είναι αληθής. Αλλά αν είναι αληθές ότι είναι ψευδές, τότε… καταλάβατε την εικόνα. Συνεχίζεται και συνεχίζεται ατέρμονα.

8. Το παράδοξο του Πινόκιο

Το παράδοξο του Ψεύτη έχει συζητηθεί και προσαρμοστεί πολλές φορές, καταλήγοντας τελικά στην παραδοξότητα του Πινόκιο. Ακολουθεί την ίδια γενική δομή, αλλά με μια πρόσθετη οπτική διάσταση. Φανταστείτε τον Πινόκιο να λέει την πρόταση: “Η μύτη μου μεγαλώνει τώρα.” Αν λέει την αλήθεια, η μύτη του θα πρέπει να μεγαλώσει, όπως είπε. Αλλά, όπως γνωρίζουμε, η μύτη του Πινόκιο μεγαλώνει μόνο αν λέει ψέματα. Αυτό σημαίνει ότι αν η μύτη του μεγαλώσει, τότε η δήλωση θα είναι ψευδής. Αλλά αν η πρόταση “η μύτη μου μεγαλώνει τώρα” είναι ψευδής, τότε δεν θα έπρεπε να μεγαλώσει καθόλου… Έχει εκραγεί το μυαλό σας ακόμη;

Αυτή η εκδοχή του παραδόξου δημιουργήθηκε το 2001 από την 11χρονη κόρη του φιλοσόφου Πίτερ Έλντριτζ-Σμιθ. Το συνοψίζει ωραία με αυτόν τον τρόπο: “Η μύτη του Πινόκιο θα μεγαλώσει αν και μόνο αν δεν μεγαλώσει.”

9. Το παράδοξο της Κάρτας

Φανταστείτε ότι κρατάτε μια καρτ-ποστάλ στο χέρι σας, στην μία πλευρά της οποίας είναι γραμμένο: “Η δήλωση στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας είναι αληθής.” Ας την ονομάσουμε Δήλωση Α. Γυρίστε την κάρτα και η αντίθετη πλευρά λέει: “Η δήλωση στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας είναι ψευδής” (Δήλωση Β). Προσπαθώντας να αποδώσετε οποιαδήποτε αλήθεια σε μία από τις δύο δηλώσεις Α ή Β, οδηγεί σε παραδοξότητα: Αν η Α είναι αληθής, τότε η Β πρέπει επίσης να είναι αληθής, αλλά για να είναι η Β αληθής, η Α πρέπει να είναι ψευδής. Αν η Δήλωση Α είναι ψευδής, τότε η Δήλωση Β πρέπει να είναι ψευδής επίσης, πράγμα που αναγκαστικά καθιστά τη Δήλωση Α αληθή. Το παράδοξο της Κάρτας είναι μια απλή παραλλαγή του παραδόξου του Ψεύτη, την οποία εφηύρε ο Βρετανός λογιστής Φίλιπ Τζόρντεϊν στις αρχές του 20ού αιώνα.

10. Το παράδοξο του Κροκόδειλου

Μια άλλη παραλλαγή του παραδόξου του Ψεύτη βοήθησε να διαμορφωθεί η γλώσσα τον 16ο αιώνα. Ένας κροκόδειλος αρπάζει ένα μικρό αγόρι από την όχθη ενός ποταμού. Η μητέρα του παρακαλεί τον κροκόδειλο να του το επιστρέψει, και εκείνος απαντά ότι θα του το επιστρέψει μόνο αν η μητέρα μαντέψει σωστά αν θα το επιστρέψει ή όχι. Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα αν η μητέρα μαντέψει σωστά ότι ο κροκόδειλος θα του επιστρέψει το παιδί — αν είναι σωστή, το παιδί επιστρέφεται· αν είναι λάθος, ο κροκόδειλος το κρατάει.

Αν, ωστόσο, η μητέρα απαντήσει ότι ο κροκόδειλος δεν θα επιστρέψει το παιδί, τότε προκύπτει παραδοξότητα: Αν η μητέρα έχει δίκιο και ο κροκόδειλος δεν είχε πρόθεση να επιστρέψει το παιδί, τότε ο κροκόδειλος πρέπει να το επιστρέψει, αλλά κάνοντάς το αυτό παραβιάζει τον λόγο του και αντιφάσκει με την απάντηση της μητέρας. Από την άλλη πλευρά, αν η μητέρα είναι λάθος και ο κροκόδειλος ήθελε πραγματικά να επιστρέψει το παιδί, τότε θα πρέπει να το κρατήσει, παρόλο που είχε πρόθεση να το επιστρέψει, παραβιάζοντας ξανά τον λόγο του.

Το παράδοξο του Κροκόδειλου είναι ένα τόσο αρχαίο και διαρκές λογικό πρόβλημα που κατά τον Μεσαίωνα η λέξη “κροκοδίλιτε” άρχισε να χρησιμοποιείται για να αναφέρεται σε οποιοδήποτε παρόμοιο λογικό δίλημμα, όπου παραδέχεσαι κάτι που αργότερα χρησιμοποιείται εναντίον σου, και η λέξη “κροκοδείλια σκέψη” σημαίνει αυθαίρετο ή πλάνης λογισμού.

11. Το παράδοξο του Newcomb

Ένα άλλο παράδειγμα όπου πρέπει να πάρετε μια απόφαση είναι Το παράδοξο του Newcomb. Φανταστείτε ότι μπαίνετε σε ένα δωμάτιο όπου υπάρχουν δύο κουτιά. Βλέπετε ότι το πρώτο κουτί περιέχει 1000 δολάρια. Το δεύτερο κουτί, όμως, είναι άγνωστο.

Πριν μπείτε στο δωμάτιο, μια παντογνώστης οντότητα έκανε μια πρόβλεψη για την απόφαση που θα πάρετε. Αν η πρόβλεψη ήταν ότι θα πάρετε μόνο το δεύτερο κουτί, αυτό το κουτί θα περιείχε 1 εκατομμύριο δολάρια. Αλλά αν προβλέφθηκε ότι θα πάρετε και τα δύο κουτιά, το δεύτερο κουτί θα ήταν άδειο και θα φεύγατε με 1000 δολάρια και δύο κουτιά.

Τι να κάνετε λοιπόν; Η μία πλευρά υποστηρίζει ότι πρέπει να πάρετε μόνο το δεύτερο κουτί — μετά από όλα, η οντότητα είναι παντογνώστης και έχει ήδη προβλέψει την απόφαση σας. Η άλλη πλευρά θα υποστήριζε ότι η απόφαση της οντότητας έχει ήδη ληφθεί. Τίποτα που κάνετε τώρα στο δωμάτιο δεν θα επηρεάσει τις αξίες των χρημάτων στα κουτιά, οπότε καλό θα ήταν να πάρετε το ρίσκο. Και οι άνθρωποι μπορούν να διαφωνούν αρκετά για το τι να κάνουν — το 2016, μια μη επιστημονική διαδικτυακή έρευνα από την The Guardian, που αποκάλεσε την παραδοξότητα “ένα από τα πιο αμφιλεγόμενα αινίγματα της φιλοσοφίας”, βρήκε ότι το 53,5% επέλεξε μόνο το δεύτερο κουτί και το 46,5% επέλεξε και τα δύο κουτιά.

12. Το παράδοξο της Διχοτόμησης

Φανταστείτε ότι πρόκειται να ξεκινήσετε περπατώντας σε έναν δρόμο. Για να φτάσετε στην άλλη άκρη, πρώτα πρέπει να περπατήσετε το μισό της απόστασης. Και για να περπατήσετε το μισό, πρώτα πρέπει να περπατήσετε το τέταρτο της απόστασης. Και για να περπατήσετε το τέταρτο, πρέπει πρώτα να περπατήσετε το όγδοο της απόστασης. Και πριν από αυτό το 16ο της απόστασης, μετά το 32ο της απόστασης, το 64ο της απόστασης, και ούτω καθεξής.

Τελικά, για να ολοκληρώσετε ακόμα και την πιο απλή ενέργεια, όπως το να περπατήσετε στον δρόμο, πρέπει να εκτελέσετε έναν άπειρο αριθμό μικρότερων εργασιών — κάτι που, κατά ορισμό, είναι απολύτως αδύνατο. Και όχι μόνο αυτό, αλλά όσο μικρό και αν είναι το πρώτο κομμάτι της διαδρομής, πάντα μπορεί να διαιρεθεί στα δύο για να δημιουργηθεί μια νέα εργασία· η μόνη περίπτωση στην οποία δεν μπορεί να διαιρεθεί είναι αν θεωρήσουμε το πρώτο κομμάτι της διαδρομής ότι έχει μηδενική απόσταση, και για να ολοκληρώσουμε την εργασία του να μην διανύσουμε καμία απόσταση, δεν μπορούμε καν να ξεκινήσουμε το ταξίδι μας.

13. Το παράδοξο του “Αγόρι ή Κορίτσι“

Φανταστείτε ότι μια οικογένεια έχει δύο παιδιά, και γνωρίζουμε ότι το ένα είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το άλλο παιδί είναι επίσης αγόρι; Η προφανής απάντηση είναι ότι η πιθανότητα είναι 1/2 — αφού το άλλο παιδί μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι, και οι πιθανότητες να γεννηθεί ένα αγόρι ή ένα κορίτσι είναι (κατά βάση) ίσες. Ωστόσο, σε μια οικογένεια με δύο παιδιά υπάρχουν στην πραγματικότητα τέσσερις δυνατές συνδυασμένες καταστάσεις: δύο αγόρια (MM), δύο κορίτσια (FF), μεγαλύτερο αγόρι και μικρότερο κορίτσι (MF), και μεγαλύτερο κορίτσι και μικρότερο αγόρι (FM). Ξέρουμε ήδη ότι το ένα παιδί είναι αγόρι, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να εξαλείψουμε τη συνδυασμένη κατάσταση FF, αλλά αυτό μας αφήνει με τρεις εξίσου πιθανούς συνδυασμούς παιδιών όπου τουλάχιστον το ένα είναι αγόρι — δηλαδή MM, MF και FM. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι αγόρι — MM — πρέπει να είναι 1/3, όχι 1/2.

14. Το παράδοξο του Fletcher

Φανταστείτε έναν τοξότη (δηλαδή έναν κατασκευαστή βελών) που έχει εκτοξεύσει ένα από τα βέλη του στον αέρα. Για να θεωρηθεί ότι το βέλος κινείται, πρέπει συνεχώς να αλλάζει θέση από το σημείο όπου είναι τώρα σε οποιοδήποτε άλλο σημείο που δεν είναι αυτή τη στιγμή. Ωστόσο, Το παράδοξο του Fletcher αναφέρει ότι καθ’ όλη τη διάρκεια της τροχιάς του, το βέλος στην πραγματικότητα δεν κινείται καθόλου. Σε κάθε δεδομένη στιγμή, μιας στιγμής μηδενικής διάρκειας (δηλαδή, σε μια στιγμή του χρόνου), το βέλος δεν μπορεί να μετακινηθεί σε κάποιο σημείο όπου δεν είναι, γιατί δεν υπάρχει χρόνος για να το κάνει. Και δεν μπορεί να μετακινηθεί στο σημείο όπου είναι ήδη, γιατί είναι ήδη εκεί. Άρα, για εκείνη τη στιγμή του χρόνου, το βέλος πρέπει να είναι ακίνητο. Αλλά επειδή ο χρόνος αποτελείται εξ ολοκλήρου από στιγμές — σε κάθε μία από τις οποίες το βέλος πρέπει επίσης να είναι ακίνητο — τότε το βέλος πρέπει στην πραγματικότητα να είναι ακίνητο όλη την ώρα. Εκτός, φυσικά, αν δεν είναι.

15. Το παράδοξο του Άπειρου του Γαλιλαίου

Στο τελευταίο γραπτό έργο του, «Λόγοι και Μαθηματικές Αποδείξεις Σχετικές με Δύο Νέες Επιστήμες» (1638), ο θρυλικός Ιταλός πολυεπιστήμονας Γαλιλαίος Γαλιλέι πρότεινε ένα μαθηματικό παράδοξο βασισμένο στις σχέσεις μεταξύ διαφορετικών συνόλων αριθμών. Από τη μια, πρότεινε ότι υπάρχουν οι τετράγωνοι αριθμοί — όπως το 1, το 4, το 9, το 16, το 25, το 36 κ.λπ. Από την άλλη, υπάρχουν οι αριθμοί που δεν είναι τετράγωνοι — όπως το 2, το 3, το 5, το 6, το 7, το 8, το 10 κ.λπ. Αν ενώσουμε αυτά τα δύο σύνολα, σίγουρα θα πρέπει να υπάρχουν περισσότεροι αριθμοί γενικά από ό,τι μόνο τετράγωνοι αριθμοί — ή, με άλλα λόγια, ο συνολικός αριθμός των τετράγωνων αριθμών πρέπει να είναι μικρότερος από τον συνολικό αριθμό των τετράγωνων και μη τετράγωνων αριθμών μαζί. Ωστόσο, επειδή κάθε θετικός αριθμός έχει έναν αντίστοιχο τετράγωνο και κάθε τετράγωνος αριθμός έχει έναν θετικό αριθμό ως τετραγωνική ρίζα, δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από το ένα ή το άλλο.

Μπερδευτήκατε; Δεν είστε οι μόνοι. Στη συζήτησή του για το παράδοξο αυτό, ο Γαλιλαίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι έννοιες όπως το “περισσότερο”, “λιγότερο” ή “λιγότεροι” μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε πεπερασμένα σύνολα αριθμών, και καθώς υπάρχουν άπειροι τετράγωνοι και μη τετράγωνοι αριθμοί, αυτές οι έννοιες απλώς δεν μπορούν να εφαρμοστούν στο παρόν πλαίσιο.

16. Το παράδοξο της πατάτας

Φανταστείτε ότι ένας αγρότης έχει έναν σάκο που περιέχει 100 λίβρες πατάτες. Ανακαλύπτει ότι οι πατάτες αποτελούνται κατά 99% από νερό και κατά 1% από στερεά, οπότε τις αφήνει στον ήλιο για μια μέρα για να μειωθεί η ποσότητα του νερού σε 98%. Όταν επιστρέφει την επόμενη μέρα, διαπιστώνει ότι ο σάκος των 100 λιβρών ζυγίζει τώρα μόλις 50 λίβρες. Πώς είναι αυτό δυνατό;

Λοιπόν, αν το 99% των 100 λιβρών πατάτας είναι νερό, τότε το νερό πρέπει να ζυγίζει 99 λίβρες. Το 1% των στερεών πρέπει να ζυγίζει μόλις 1 λίβρα, δίνοντας μια αναλογία στερεών προς υγρά 1:99. Όμως, αν οι πατάτες αφυδατωθούν και φτάσουν στο 98% νερό, τα στερεά τώρα πρέπει να αποτελούν το 2% του βάρους – μια αναλογία 2:98, ή 1:49 – παρόλο που τα στερεά πρέπει να ζυγίζουν ακόμα 1 λίβρα. Το νερό, τελικά, πρέπει να ζυγίζει 49 λίβρες, δίνοντας συνολικό βάρος 50 λίβρες, παρά τη μόλις 1% μείωση της περιεκτικότητας σε νερό. Ή μήπως όχι;

Αν και δεν είναι αληθινό παράδοξο με την αυστηρότερη έννοια, το “Παράδοξο της Πατάτας” είναι ένα διάσημο παράδειγμα ενός λεγόμενου αληθινού παράδοξου (veridical paradox), στο οποίο μια βασική θεωρία οδηγεί σε ένα λογικό αλλά φαινομενικά παράλογο συμπέρασμα.

17. Το παράδοξο του Κορακιού

Επίσης γνωστή ως “Το παράδοξο του Hempel”, από τον Γερμανό λογικό που την πρότεινε στα μέσα της δεκαετίας του 1940, το παράδοξο του κορακιού ξεκινά με την φαινομενικά απλή και απολύτως αληθή δήλωση «όλα τα κοράκια είναι μαύρα». Αυτό συνδυάζεται με μια “λογικά αντεστραμμένη” (δηλαδή αρνητική και αντιφατική) δήλωση ότι «ό,τι δεν είναι μαύρο, δεν είναι κοράκι» — η οποία, παρόλο που φαίνεται να είναι περιττή, είναι επίσης αληθής, δεδομένου ότι γνωρίζουμε πως «όλα τα κοράκια είναι μαύρα».

Ο Hempel υποστηρίζει ότι κάθε φορά που βλέπουμε ένα μαύρο κοράκι, αυτό αποτελεί αποδεικτικό στοιχείο που υποστηρίζει την πρώτη δήλωση. Αλλά, επεκτείνοντας το συλλογισμό, κάθε φορά που βλέπουμε κάτι που δεν είναι μαύρο, όπως ένα μήλο, αυτό πρέπει να θεωρείται επίσης ως αποδεικτικό στοιχείο για την δεύτερη δήλωση — αφού το μήλο δεν είναι μαύρο και επίσης δεν είναι κοράκι.

Το παράδοξο εδώ είναι ότι ο Hempel φαίνεται να έχει αποδείξει ότι η θέαση ενός μήλου μας παρέχει αποδεικτικά στοιχεία — ό,τι και αν είναι — ότι τα κοράκια είναι μαύρα. Είναι το ίδιο σαν να λέμε ότι το γεγονός ότι ζεις στη Νέα Υόρκη είναι απόδειξη ότι δεν ζεις στο Λος Άντζελες ή ότι το γεγονός ότι είσαι 30 χρονών είναι απόδειξη ότι δεν είσαι 29. Πόση πληροφορία μπορεί πραγματικά να υπονοεί μια δήλωση;

18. Το Τρίγωνο του Penrose

Ενώ οι περισσότερες παραδοξότητες παρουσιάζονται μέσω ενός φιλοσοφικού ερωτήματος προφορικά ή γραπτά, ορισμένες είναι οπτικές. Ένα παράδειγμα αυτών είναι το Τρίγωνο του Penrose. Πρόκειται για ένα αντικείμενο που περιγράφεται από έναν από τους δημιουργούς του ως «αδύνατο… στην καθαρότερη μορφή του», αλλά μπορείς να το κατασκευάσεις και να το δείξεις σε άλλους. Προφανώς, είναι ένα τέχνασμα αναλογιών και γωνιών θέασης, αλλά ακόμα και αφού αποκαλυφθεί το τέχνασμα, οι άνθρωποι εξακολουθούν να το βλέπουν ως αδύνατο τρίγωνο.

Πιθανώς να γνωρίζετε παραλλαγές αυτών των «οπτικών παραδοξοτήτων» από τις αναπαραστάσεις τους στα έργα του MC Escher, ο οποίος είναι το πρόσωπο-σύμβολο για την τέχνη που παραμορφώνει το μυαλό. Η Waterfall του 1961, για παράδειγμα, απεικονίζει ένα αδύνατο αντικείμενο.

19. Το παράδοξο του Παπουτσιού του Κύριου Hilbert (Το παράδοξο του Μεγάλου Ξενοδοχείου του Hilbert)

Το παράδοξο του Μεγάλου Ξενοδοχείου του Hilbert είναι ένα διάσημο πείραμα σκέψης που έχει σκοπό να δείξει τη παράδοξη φύση του άπειρου. Φανταστείτε ότι μπαίνετε σε ένα μεγάλο, όμορφο ξενοδοχείο, ψάχνοντας για δωμάτιο. Πόσο μεγάλο είναι; Άπειρα μεγάλο. Το ξενοδοχείο αυτό έχει άπειρους αριθμούς δωματίων. Ωστόσο, όλα τα δωμάτια είναι αυτή τη στιγμή κατειλημμένα από άπειρους αριθμούς επισκεπτών. (Το “άπειρα μετρήσιμα” σημαίνει ότι μπορείτε να αντιστοιχήσετε έναν φυσικό αριθμό σε κάθε δωμάτιο).

Αναμενόμενα, κάποιος θα πίστευε ότι το ξενοδοχείο δεν θα μπορούσε να φιλοξενήσει εσάς, πόσο μάλλον επιπλέον επισκέπτες, αλλά Το παράδοξο του Hilbert αποδεικνύει ότι αυτό δεν ισχύει.

Για να σας φιλοξενήσουν, το ξενοδοχείο μπορεί, υποθετικά, να μετακινήσει τον επισκέπτη του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2. Ταυτόχρονα, ο επισκέπτης του δωματίου 2 θα μετακινηθεί στο δωμάτιο 3 και ούτω καθεξής, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε επισκέπτης μετακινείται στο δωμάτιο x + 1. Έτσι, όλοι οι επισκέπτες θα αποκτήσουν νέο δωμάτιο και το δωμάτιο 1 θα μείνει ελεύθερο. Καλώς ήρθατε στο ξενοδοχείο!

Τι θα γινόταν αν είχαμε 3000 επιπλέον επισκέπτες που θέλουν δωμάτια; Καμία ανησυχία, απλώς επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, αλλά αντί για x + 1, εφαρμόζουμε x + y, όπου y = 3000.

Τι θα γινόταν αν υπήρχε άπειρος αριθμός νέων επισκεπτών που θέλουν δωμάτιο; Υπάρχει λύση και γι’ αυτό. Η διαδικασία θα είναι τώρα 2x. Απλώς μετακινείτε τον επισκέπτη του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον επισκέπτη του δωματίου 2 στο δωμάτιο 4, τον επισκέπτη του δωματίου 3 στο δωμάτιο 6, και ούτω καθεξής. Αυτό θα αφήσει όλα τα περιττά δωμάτια ελεύθερα, έτσι ώστε οι νέοι επισκέπτες να μπορέσουν να πάρουν ένα από τα ελεύθερα δωμάτια.

Η βάση του παραδόξου του Μεγάλου Ξενοδοχείου είναι η ιδέα των αντίθετων αποτελεσμάτων που είναι ακόμα αποδεδειγμένα αληθή. Στο παράδειγμα αυτό, οι δηλώσεις «υπάρχει επισκέπτης σε κάθε δωμάτιο» και «δεν μπορεί να φιλοξενηθεί κανείς άλλος επισκέπτης» δεν είναι το ίδιο πράγμα λόγω της φύσης του άπειρου. Σε ένα κανονικό σύνολο αριθμών, όπως ο αριθμός των δωματίων σε ένα κανονικό ξενοδοχείο, ο αριθμός των περιττών δωματίων θα ήταν προφανώς μικρότερος από τον συνολικό αριθμό δωματίων. Αλλά στην περίπτωση του άπειρου, αυτό δεν ισχύει, αφού υπάρχουν άπειρα περιττά δωμάτια και άπειρα συνολικά δωμάτια.

20. Το παράδοξο του Ενδιαφέροντος Αριθμού

Το παράδοξο του ενδιαφέροντος αριθμού δεν είναι πραγματικά παραδοξότητα με την αυστηρή έννοια, αλλά συχνά αναφέρεται έτσι. Ουσιαστικά, αποδεικνύει ότι όλοι οι αριθμοί είναι «ενδιαφέροντες» — ακόμα και οι βαρετοί αριθμοί… που στην πραγματικότητα είναι ενδιαφέροντες, φυσικά, επειδή είναι βαρετοί.

Ενδιαφέρον, σε αυτή την περίπτωση, σημαίνει ότι ο αριθμός έχει κάτι μοναδικό. Για παράδειγμα, το 1 είναι ο πρώτος μη μηδενικός φυσικός αριθμός, το 2 είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός, το 3 είναι ο πρώτος περιττός πρώτος αριθμός. Η λίστα μπορεί να συνεχίζεται ατέρμονα, μέχρι να φτάσετε στον πρώτο «μη ενδιαφέρον» αριθμό. Δεν έχει τίποτα ιδιαίτερο ή συναρπαστικό πάνω του. Αλλά, δεδομένου ότι είναι ο πρώτος μη ενδιαφέρον αριθμός που συναντάτε, είναι, στην πραγματικότητα, μοναδικός και επομένως ενδιαφέρον, και αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί άπειρα, υποθετικά.

Η ιδέα αυτή γεννήθηκε από μια συζήτηση μεταξύ των μαθηματικών Srinivasa Ramanujan και G.H. Hardy. Ο Hardy παρατήρησε ότι ο αριθμός του ταξί που είχε πρόσφατα πάρει, το 1729, ήταν «αρκετά βαρετός». Ο Ramanujan απάντησε ότι στην πραγματικότητα ήταν ενδιαφέρον, αφού ήταν ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.